Question

已知椭圆的右焦点为F，点E在x轴上，若椭圆的离心率e=，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若过F的直线交椭圆于A，B两点，且与向量共线（其中O为坐标原点），求证：与的夹角为．

Answer

（1）跟椭圆的性质及题意可知和的值，联立方程可求得a和c，进而根据b=求得b．
（2）根据（1）可求得椭圆的焦点可知直线不垂直于x轴，进而可设直线AB：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和椭圆方程联立消去y，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而表示出求得k的值，进而可求得判断夹角为90°
【解析】
（1）由题意知．
（2）由（1）知F（1，0），显然直线不垂直于x轴，
可设直线AB：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
则消去y，得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，
则=，
于是，
依题意：，故
又，
故，所以与的夹角为90°