Question

已知函数f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer

（I）欲证明当a=1时，函数f（x）只有一个零点，只须证明f（x）在（0，1）为增函数即可，最后只须证明f′（x）＞0即可；
（II）先求出原函数的导数，再根据函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，将原问题转化为f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立问题，列出关于a的不等关系解之即得．
（Ⅰ）证明：∵f（x）在（0，1）为增函数，
在（1，+∞）上为减函数．∴f（x）的最大值为f（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点．（4分）
（Ⅱ）【解析】
∵
①当a=0时，不成立．
②当a＞0时，f'（x）＜0，得，∴．
③当a＜0时，f'（x）＜0，得，∴
综上得：（12分）