Question

已知M（2，0），N（-2，0），动点P满足|PN|-|PM|=2，点P的轨迹为W，过点M的直线与轨迹W交于A，B两点．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）若，求直线AB斜率k的值，并判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）利用双曲线的定义求轨迹方程．
（2）点斜式设出直线AB的方程，代入双曲线方程，利用判别式及根与系数的关系求k的值，利用双曲线的几何性质求出AB的长，计算圆心到直线直线的距离，将此距离与圆的半径比较，得出结论．
【解析】
（Ⅰ）∵|PN|-|PM|=2＜|MN|=4，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
且．
∴轨迹W的方程为．（4分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2）．
由得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0．（5分）
设A（x1，y1）．B（x2，y2），
则，①
，②
△=16k4+4（3-k2）（4k2+3）＞0．③（8分）
由①②③解得k2＞3．（9分）
∵，
∴2（2-x1，-y1）=（x2-2，y2），
∴x2=6-2x1．代入①②，得，．
消掉x1得．（11分）
∵M（2，0）为双曲线右支的焦点，离心率e=2．由双曲线的几何性质，
得．
设以AB为直径的圆的圆心为Q，Q到直线l的距离为d，
则d=．
∴．
∴，直线l与圆Q相交．（14分）