Question

在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F，G分别是BC，CD，AB的中点（如图1）．将四边形ABCD沿FG折成空间图形（如图2）后，
（1）求证：DE⊥FG；
（2）线段BG上是否存在一点M，使得AM∥平面BDF？若存在，试指出点M的位置，并证明之；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）先通过图1得到AD∥BC，再由中位线定理得到FG∥AD∥BC，由图2可得到AD=BE，进而可知四边形ABED是平行四边形，可证明AB∥DE，再由∠GAD=∠GBC=90°，FG∥AD，FG∥BC，可得到AG⊥FG且BG⊥FG，最后根据线面垂直的判定定理可证FG⊥平面AGB，又因为AB⊂平面AGB，所以DE⊥FG．
（2）先判断当M在线段BG上，且BM=2MG时，AM∥平面BDF．根据等比线段的性质得到从而知四边形MNDA是平行四边形，
得到AM∥DN，再由线面平行的判定定理可知AM∥平面BDF，得证．
证明：（1）在图1中，因为∠ABC=∠BAD=90°，所以AD∥BC．
因为F，G分别是CD，AB的中点，所以FG∥AD∥BC．
在图2中，因为FG∥AD，FG∥BC，所以AD∥BC．
因为BC=2AD，E是BC的中点，所以AD=BE．
所以四边形ABED是平行四边形．
所以AB∥DE．
因为∠GAD=∠GBC=90°，FG∥AD，FG∥BC，
所以AG⊥FG，且BG⊥FG．
因为AG∩BG=G，且AG，BG⊂平面AGB，所以FG⊥平面AGB．
因为AB⊂平面AGB，所以FG⊥AB．
所以DE⊥FG．
（2）当M在线段BG上，且BM=2MG时，AM∥平面BDF．
证明如下：
在线段BF上取点N，使BN=2NF．
因为FG是梯形ABCD的中位线，BC=2AD=4，
所以FG∥AD，且FG=3．
因为BM=2ME，BN=2NF，所以MN∥FG，且MN=
所以
所以四边形MNDA是平行四边形．
所以AM∥DN．
又因为DN⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，
所以AM∥平面BDF．