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某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品,该工艺品由一个圆柱和一个半球组成,要求半球...

某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品,该工艺品由一个圆柱和一个半球组成,要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3:2,工艺品的体积为34πcm3.设圆柱的底面直径为4x(cm),工艺品的表面积为S(cm2).
(1)试写出S关于x的函数关系式;
(2)怎样设计才能使工艺品的表面积最小?

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(1)由题知圆柱的底面半径为2x,半球的半径为3x.设圆柱的高为h(cm).通过试工艺品的体积,求出圆柱的高于底面半径的关系,然后写出S关于x的函数关系式; (2)利用(1)的表达式,通过导数,求出极值点,说明高、底面半径、球的半径的数值使工艺品的表面积最小. 【解析】 (1)由题知圆柱的底面半径为2x,半球的半径为3x. 设圆柱的高为h(cm).因为工艺品的体积为34πcm3,所以, 所以,所以工艺品的表面积为 = = 由x>0且h=,得0 所以S关于x的函数关系式是S=17π, (2)由(1)知,令S'=0,得x=1. 当0<x<1时,S'<0,所以S关于x∈(0,1]是单调减函数; 当1<x<时,S'>0,所以S关于x∈是单调增函数. 所以,当x=1时,S取得最小值=51π,此时h=4. 答:按照圆柱的高为4cm,圆柱的底面半径为2cm,半球的半径为3cm设计,工艺品的表面积最小,为51πcm2.
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考点分析:
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②方程f(x)=0和f'(x)=0有且仅有一个相同的实根;
③方程f(x)+3=0的任一实根都大于f(x)-1=0的任一实根;
④方程f(x)+5=0的任一实根都小于f(x)-2=0的任一实根.
其中正确命题的序号是    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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