Question

已知F为抛物线C：y=x²的焦点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C上的两点，且x₁＜x₂．
（1）若为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最小值是多少？
（2）若直线AB与抛物线C所围成的面积为，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer

（1）由题知，先写出抛物线C的焦点坐标，利用题中向量条件得出A，B两点坐标的关系式，从而写出直线AB的方程为，再利用定积分求出直线AB与抛物线C所围的面积的表达式，最后利用基本不等式求其最小值即可；
（2）先由题知A（x1，x12），B（x2，x22），且x1＜x2，写出直线AB的方程为y-x12=k（x-x1），即y=（x1+x2）x-x1x2，再利用定积分求出直线AB与抛物线C所围的面积得到关于x1，
x2的方程，最终消去x1，x2得出点M的轨迹方程．
【解析】
（1）由题知，抛物线C的焦点．
因为共线，即
，
．
因为x1＜x2，所以x1x2=-．（2分）
由题设条件x1＜x2知，直线AB的斜率k一定存在，且
k=．（3分）
设直线AB的方程为y=kx+，则直线AB与抛物线C所围的面积
S=
=
=-
=
=
=

=，
当且仅当k=0，即x1=-x2，即λ=-1时，Smin=．（5分）
（2）由题知A（x1，x12），B（x2，x22），且x1＜x2，则直线AB的斜率kAB=．
设直线AB的方程为y-x12=k（x-x1），即y=（x1+x2）x-x1x2，
则直线AB与抛物线C所围的面积
S=
=，
因为S==2．（8分）设M（x，y），则x=+1，
y=+1，
所以y=x2+1．
故点M的轨迹方程为y=x2+1．（10分）