Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A-A₁B-C的余弦值的大小．

Answer

（1）根据题意可知BC⊥AC，而A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，从而BC⊥面A1AC，则BC⊥AC1，又因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，
满足线面垂直的判定定理，从而AC1⊥底A1BC；
（2）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）所以A1B⊥AE，根据二面角的平面角的定义可知∠AEO为二面角平面角，在Rt△A1BC中求出OE，AO，AE，从而求出二面角余弦．
【解析】
（1）证明：∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A1D⊥底ABC，
所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，
所以BC⊥AC1（3分）
因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，
所以AC1⊥底A1BC（1分）
（2）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）
所以A1B⊥AE，所以∠AEO为二面角平面角，（2分）
在Rt△A1BC中，
所以，所以二面角余弦