Question

已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，证明：对x∈（0，1）时，不等式2f（x）＜g（x）成立；
（3）当n≥2，，n∈N^*证明：．

Answer

（1）求出f（x）的导函数和f（x）的定义域，并求出导函数分子中多项式的根的判别式，分a小于等于0大于等于-1，a大于0和a小于-1三种情况讨论导函数的正负和根的判别式的正负即可得到函数的单调区间；
（2）设h（x）=2f（x）-g（x），把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中确定出h（x），求出h（x）的导函数，得到导函数小于0即h（x）为减函数，得到h（x）小于h（0），而h（0）=0，化简得证；
（3）由（2）中的h（x）小于0得到ln（x+1）小于x2-x3，令x=，即可得到，同理把n换成n-1，n-2，…，2，把所有的不等式相乘，约分化简后得证．
解（1）（x＞-1），△=16a（a+1），
①-1≤a≤0时，△＜0，f′（x）＜0，单调减区间（-1，+∞）；
②a＞0时，△＞0，单调减区间；增区间；
③a＜-1时，△＞0，单调减区间∪；增区间；
（2）设h（x）=2f（x）-g（x）=x2-ln（x+1）-x3，，
所以h（x）＜h（0）=0，即2f（x）＜g（x），
（3）由（2）ln（x+1）＜x2-x3，
令，则，
同理，…，，累乘即得证．