Question

已知如果函数f（x）满足：对任意的实数a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则f（0）+f（3）=    ．

Answer

本题考查抽象函数的性质及其应用，可以利用两种方法来完成．方法一：根据f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，给a，b取值，利用赋值法求解；方法二：抽象出具体函数求解．f（a+b）=f（a）•f（b）⇔f（x）=ax（a＞0且a≠1）
【解析】
方法一：对任意的实数a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则，令a=1，b=0，可得f（1）=f（1）•f（0）⇒f（0）=1，令a=b=1，可得f（2）=f（1）•f（1）=4，令a=1，b=2，可得f（3）=f（1）•f（2）=8，所以f（0）+f（3）=9；
方法二、（抽象出具体函数）对任意的实数a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则符合条件的一个函数是y=2x．
则f（0）+f（3）=2+23=9．