Question

已知函数f（x）=，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的两点且x₁＜1，x₂＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证：3＜x₂＜4；（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x∈I，g（x）的图象在（x，g（x））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l上方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“下线区间”．类比上面的定义，请你写出函数“上线区间”的定义，并根据你所给的定义，判断区间（-∞，）是否是函数f（x）的“上线区间”（不必证明）．

Answer

（Ⅰ）分别当x小于等于1求出f′（x）=0时x的值，然后利用x的值和x=1分区间讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，而当x大于1时得到导函数恒大于0得到函数的增区间，根据函数的增减性得到函数的极值即可；
（Ⅱ）当x1＜1时求出f′（x1）即为直线PQ的斜率，根据直线PQ过（x1，f（x1））和求出的f′（x1）值写出直线PQ的方程①，当x2＞1时求出f′（x2）即为直线PQ的斜率，根据直线PQ过（x2，f（x2））和求出的f′（x2）的值写出直线PQ的方程②，因为两条直线表示同一条直线，所以联立①②消去x1，得到关于x2的关系式，令φ（x）等于这个关系式，则x2是φ（x）图象与x轴交点的横坐标．当x大于1时求出φ′（x）判断其值小于0即φ（x）为减函数，因为φ（3）大于0，而φ（4）小于0，所以3＜x2＜4得证；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知-2x1+1=∈（，），∴x1∈（，），再结合f（x）图象得结论．
【解析】
（Ⅰ）当x≤1时，由f′（x）=-2x+1=0得x=；
当x＞1时，f′（x）=＞0
列表：

∴f（x）的单调增区间为（-∞，），（1，+∞）；
单调减区间为（，1）．
f（x）的极大值为f（）=，极小值为f（1）=0．
（Ⅱ）∵x1＜1∴f′（x1）=-2x1+1
∴直线PQ的方程为y-f（x1）=f′（x1）（x-x1）
即y-（-x12+x1）=（-2x1+1）（x-x1），y=（-2x1+1）x+x12①
∵x2＞1∴f′（x2）=
∴直线PQ的方程为y-f（x2）=f′（x2）（x-x2）
即y-lnx2=（x-x2），y=x+lnx2-1②
∵①②表示同一条直线方程，∴
消去x1，得[（1-）]2=lnx2-1，即--4lnx2+5=0
令φ（x）=--4lnx+5（x＞1），则x2是φ（x）图象与x轴交点的横坐标．
∵当x＞1时，φ′（x）=-
∴φ（x）在（1，+∞）上是减函数
又φ（3）=
φ（4）=
∴3＜x2＜4
（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x∈I，g（x）的图象在（x，g（x））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l下方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“上线区间”，
所以（-∞，）不是函数f（x）的“上线区间”．