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已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,侧面ACC1A1与底面ABC垂直,∠ABC=9...

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,侧面ACC1A1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2manfen5.com 满分网,且AA1⊥A1C,AA1=A1C
(Ⅰ)试判断A1A与平面A1BC是否垂直,并说明理由;
(Ⅱ)求底面ABC与侧面BB1C1C所成二面角的余弦值.

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(I)取AC中点D,连接A1D,由已知中侧面ACC1A1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,利用反证法证明A1A与平面A1BC不垂直; (II)利用三垂线定理,作出∠CFE即为所求侧面BB1C1C与地面A1B1C1所成的锐二面角的平面角,然后解三角形CFE即可求出底面ABC与侧面BB1C1C所成二面角的余弦值. 【解析】 (I)取AC中点D,连接A1D,则A1D⊥AC. 又∵侧面ACC1A1与底面ABC垂直,交线为AC, ∵A1D⊥面ABC(2分) ∴A1D⊥BC. 假设AA1与平面A1BC垂直,则A1A⊥BC. 又A1D⊥BC,由线面垂直的判定定理, BC⊥面A1AC,所以BC⊥AC, 这样在△ABC中有两个直角,与三角形内角和定理矛盾. 假设不成立,所以AA1不与平面A1BC垂直(5分) (II)侧面BB1C1C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB1C1C与A1B1C1底面所成的锐二面角. 过点C作A1C1的垂线CE于E,则CE⊥面A1B1C1,B1C1⊥CE. 过点E作B1C1的垂线EF于F,连接CF. 因为B1C1⊥EF,B1C1⊥CE,所以B1C1⊥面EFC,B1C1⊥CF 所以∠CFE即为所求侧面BB1C1C与底面A1B1C1所成的锐二面角的平面角(9分) 由 ,EF=1,得 在Rt△ABC中,cos∠CFE= 所以,侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为(12分)
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考点分析:
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试题属性
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