Question

已知函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b 关于a的函数关系式，并求b的最大值；
（Ⅱ）若b∈[0，2]，h（x）=f（x）+g（x）-（2a-b）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．

Answer

（I）设公共点（x，y），根据题意得到，f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），解出b关于a的函数关系式，然后利用导数研究b关于a的函数的单调性，从而求出b的最大值；
（II）要使h（x）在（0，4）上单调，须h′（x）≤0或h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，①当h′（x）≤0时，x+≤b，根据b∈[0，2]，只需x+≤0而x∈（0，4）则a不存在，②当h′（x）≥0时x+≥b，而b∈[0，2]，只需x+≥2即3a2≥x（2-x）恒成立，根据x∈（0，4）可求出不等式右边的最大值，建立不等式解之即可求出a的取值范围．
【解析】
（I）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x，y）处的切线相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=．
由题意知f（x）=g（x），f′（x）=g′（x）
即 ，
解得x=a或x=-3a（舍去），
b（a）=-3a2lna（a＞0）
b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）
b'（a）＞0⇔⇔0＜a＜
b'（a）＜0⇔⇔a＞
可见b（a）max=b（）=
（II）h（x）=x2+3a2lnx-bx，h′（x）=x+-b
要使h（x）在（0，4）上单调，须h′（x）≤0或h′（x）≥0在（0，4）上恒成立．
①当h′（x）≤0时，x+-b≤0∴x+≤b
∵b∈[0，2]，只需x+≤0∵x∈（0，4）∴a不存在
②当h′（x）≥0时，x+-b≥0∴x+≥b
∵b∈[0，2]，只需x+≥2
∴3a2≥x（2-x）恒成立
∵x∈（0，4）∴3a2≥1解得：a≥或a≤-．
综上，所求a的取值范围为a≥或a≤-．