Question

函数的定义域为（0，1]（a为实数）．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

Answer

（I）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．
（II）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．
（III）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值．
【解析】
（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为；
（Ⅱ）∵在定义域上恒成立
而-2x2∈（-2，0）
∴a≤-2
（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，
当x=1时取得最大值2-a；
由（2）得当a≤-2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，
当x=1时取得最小值2-a；
当-2＜a＜0时，函数y=f（x）在上单调减，在上单调增，无最大值，
当时取得最小值．