Question

已知：函数f（x）在（-1，1）上有定义，，且对∀x、y∈（-1，1）有．
（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）对于数列{x_n}，有，试证明数列{f（x_n）}成等比数列；
（Ⅲ）求证：．

Answer

（I）根据题意在中，令y=-x，计算可得f（-x）=f（x），从而可得函数为奇函数．
（II）欲证数列{f（xn）}成等比数列，只须证得，利用题中条件：从而可证明数列{f{xn}}为等比数列．
（2）利用（Ⅱ）可得，求得，从而利用等比数列的求和公式得 ，进而得解．
【解析】
（Ⅰ）在中，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）
再令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
（Ⅱ）证明：由得
∵∴
∴
∵函数f（x）为奇函数，∴f（xn+1）=f（xn）-f（xn+1），2f（xn+1）=f（xn）
∵xn≠0否则与矛盾，∴f（xn）≠f（0）=0
〔或=2f（xn+1）〕
∴，
∵，∴{f（xn）}是以-1为首项，为公比的等比数列
（Ⅲ）证明：又（Ⅱ）可得
∵=f（x1）+f（x2）+…+f（xn）=
又∵n∈N*∴∴