满分5 > 高中数学试题 >

已知函数f(x)=-x3+ax2-4. (1) 若f(x)在处取得极值,求实数a...

已知函数f(x)=-x3+ax2-4.
(1) 若f(x)在manfen5.com 满分网处取得极值,求实数a的值;
(2) 在(Ⅰ)的条件下,若关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;
(3) 若存在x∈(0,+∞),使得不等式f(x)>0成立,求实数a的取值范围.
(1)首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值,(2)在(Ⅰ)的条件下,若关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,即函数f(x)的图象与直线y=m有两个交点,利用导数即求函数f(x)在区间[-1,1]上的最值;(3)解法一:存在x∈(0,+∞),使f(x)>0即寻找f(x)max>0是变量a的范围;解法二:存在x∈(0,+∞),使得不等式f(x)>0成立,即即-x3+ax2-4>0在(0,+∞)上有解,分离参数,即求a>g(x)min,转化为求函数的最小值. (1)f'(x)=-3x2+2ax,由题意得,解得a=2,经检验满足条件. (2)由(1)知f(x)=-x3+2x2-4,f'(x)=-3x2+4x, 令f'(x)=0,则x1=0,(舍去).f'(x),f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) (0,1) 1 f'(x) - + f(x) -1 ↘ -4 ↗ -3 ∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增, ∴f(x)极小值=f(0)=-4,如图构造f(x)在[-1,1]上的图象. 又关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根, 则-4<m≤-3,即m的取值范围是(-4,-3]. (3)解法一:因存在x∈(0,+∞),使得不等式f(x)>0成立, 故只需要f(x)的最大值f(x)max>0即可, ∵f(x)=-x3+ax2-4,∴. ①若a≤0,则当x>0时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)单调递减. ∵f(0)=-4<0,∴当x>0时,f(x)<-4<0, ∴当a≤0时,不存在x∈(0,+∞),使得不等式f(x)>0成立. ②当a>0时f(x),f'(x)随x的变化情况如下表: x f'(x) + - f(x) ↗ ↘ ∴当x∈(0,+∞)时,,由得a>3. 综上得a>3,即a的取值范围是(3,+∞). 解法二:根据题意,只需要不等式f(x)>0在(0,+∞)上有解即可, 即-x3+ax2-4>0在(0,+∞)上有解.即不等式在(0,+∞)上有解即可. 令,只需要a>g(x)min 而,当且仅当,即x=2时“=”成立. 故a>3,即a的取值范围是(3,+∞).
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
manfen5.com 满分网已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(1)求证:AF∥平面PEC;
(2)求PC与平面ABCD所成角的大小;
(3)求二面角P-EC-D的大小.
查看答案
中国篮球职业联赛(CBA)的总决赛采用七局四胜制,当两支实力水平相当的球队进入总决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元,以后每场比赛票房收入比上一场增加a万元.当两队决出胜负后,求:
(1)组织者至少可以获得多少票房收入?
(2)组织者可以获得票房收入不少于33a万元的概率.
查看答案
已知函数manfen5.com 满分网(ω>0)的最小正周期为3π,
(Ⅰ)当 manfen5.com 满分网时,求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)在△ABC,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.
查看答案
三位同学在研究函数manfen5.com 满分网(x∈R) 时,分别给出下面三个结论:
①函数f(x)的值域为 (-1,1)
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2
③若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则manfen5.com 满分网对任意n∈N*恒成立.
你认为上述三个结论中正确的个数有    查看答案
定义:我们把满足an+an-1=k(n≥2,k是常数)的数列叫做等和数列,常数k叫做数列的公和.若等和数列{an}的首项为1,公和为3,则该数列前2010项的和S2010=    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.