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设函数manfen5.com 满分网R),函数f(x)的导数记为f'(x).
(1)若a=f'(2),b=f'(1),c=f'(0),求a、b、c的值;
(2)在(1)的条件下,记manfen5.com 满分网,求证:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<manfen5.com 满分网N*);
(3)设关于x的方程f'(x)=0的两个实数根为α、β,且1<α<β<2.试问:是否存在正整数n,使得manfen5.com 满分网?说明理由.
(1)求出f'(x)=x2+ax+b,由 a=f'(2),b=f'(1),c=f'(0),求出a=-1,b=c=-3. (2)根据,F(1)和 F(2)都小于,且F(1)+F(2)=0,当n≥3时,F(n)<  ( ),用放缩法证明F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<…+<. (3)根据 f'(1)•f'(2)=(1-α)(1-β)(2-α)(2-β)=(α-1)(2-α)(β-1)(2-β )≤=,可得,或,故存在n=1或2, 使. 【解析】 (1)f'(x)=x2+ax+b,由已知可得a=-1,b=c=-3.…(4分) (2), 当n=1时,;当n=2时,; 当n≥3时,. 所以F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<F(1)+F(2)+…+ =(1++--- )< (1++ )=, 所以F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<N*).…(9分) (3)根据题设,可令f'(x)=(x-α)(x-β). ∴f'(1)•f'(2)=(1-α)(1-β)(2-α)(2-β) =, ∴,或,所以存在n=1或2,使.…(13分).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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