Question

已知a，b，c均为大于0的实数，设命题P：以a，b，c为长度的线段可以构成三角形的三边，命题Q：a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca），则P是Q的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

分别讨论命题P：以a，b，c为长度的线段可以构成三角形的三边⇒命题Q：a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca），及命题Q：a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）⇒命题P：以a，b，c为长度的线段可以构成三角形的三边的真假，进而根据充要条件的定义，即可得到答案．
【解析】
若命题P：以a，b，c为长度的线段可以构成三角形的三边，为真命题
则根据三角形任意两边之长大于第三边，则
2（ab+bc+ca）=ab+bc+ab+ca+bc+ca=b（a+c）+a（b+c）+c（b+a）＞a2+b2+c2
即P是Q的充分条件
当a=1，b=2，c=3时，a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）成立，但以a，b，c为长度的线段可以构不成三角形的三边，
故P是Q的不必要条件
故选A．