Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a，b∈R满足下列关系式：f=af（b）+bf（a），f（2）=2，，．考察下列结论：①f（0）=f（1）； ②f（x）为偶函数；③数列{a_n}为等差数列；④数列{b_n}为等比数列．其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①令x=y=0，得f（0）=f（0•0）=0，令x=y=1得f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，可知正确；
②用特例，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函数，
③f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，有bn=bn-1+1，符合等差数列定义；
④b1═1，bn=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2nbn=n2n，an═2n，故数列{an}是等比数列．
【解析】
∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，①正确；
f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，
故②错；
则f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，
∴bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列，④正确；
b1═1，bn=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2nbn=n2n，an═2n，
故数列{an}是等比数列，③正确．
故选C．