Question

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，
（Ⅰ）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

Answer

（Ⅰ）把a=100代入，先利用数列的递推关系式求出数列的各项的特点，再分组求和即可；
（Ⅱ）先对a1=a的取值分：①若0＜a1≤3；②若a1＞3两种情况分别求出数列各项的规律，即可证明结论．
【解析】
（1）当a=100时，由题意知数列an的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，
从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S100=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=．
（2）证明：①若0＜a1≤3，则题意成立；
②若a1＞3，此时数列an的前若干项满足an-an-1=3，即an=a1-3（n-1）．
设a1∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N*），
则当n=k+1时，ak+1=a1-3k∈（0，3]．
从而，此时命题成立．
综上：对于数列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤3．