Question

已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．
（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer

（1）对函数进行求导，根据导函数大于等于0在[0，2]上恒成立可得答案．
（2）先得出当x∈[0，2]时，∈[-1，-]下面对a进行分类讨论：①当a≤时，②当＜a＜1时，③当a≥1时，分别求得函数f（x）在[0，2]上的最大值，最后在总结即可．
【解析】
f′（x）=+a
（1）只要在x∈[0，2]上f'（x）≥0恒成立，⇔a≥
而∈[，1]，∴a≥1                            （5分）
（2）∵当x∈[0，2]时，∈[-1，-]
∴①当a≤时，f′（x）≤0，这时f（x）在[0，2]上单调递减，
f（x）≤f（0）=1+ln3（7分）
②当＜a＜1时，令f′（x）=0，可解得x=3-，
∵当x∈[0，3-]时，有f′（x）＞0
当x∈[3-，2]时，有f′（x）＜0，
∴x=3-是f（x）在[0，2]上的唯一的极大值，
则f（x）≤f（3-）=3a-lna     （10分）
③当a≥1时，f'（x）≥0，这时f（x）在[0，2]上单调递增，
f（x）≤f（2）=2a+1                  （12分）
综上所述：（13分）