Question

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若|MF|=1，且双曲线C的离心率．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若且，求直线l斜率k的取值范围．

Answer

（1）利用双曲线的右准线与一条渐近线交于点M，可求点M的坐标，由|MF|=1，可得方程，借助于离心率及几何量的关系，从而求出双曲线的方程；
（2）将直线与双曲线的方程联立可得（1-2k2）x2-4kx-4=0，，从而可有，即且k＜0，再根据且，有，从而可求k的取值范围．
【解析】
（1）由对称性，不妨设M是右准线与一渐近线的交点，
其坐标为M（），∵|MF|=1，∴，
又∴，，
解得a2=2，b2=1，所以双曲线C的方程是；（6分）
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
由得：（1-2k2）x2-4kx-4=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，
∴
∴且k＜0①（9分）
又∵且P在A、Q之间，，∴x1=λx2且，
∴∴，
∵=在上是减函数（∵f′（λ）＜0），
∴，
∴，由于，∴②（12分）
由①②可得：，（13分）
即直线l斜率取值范围为（14分）