Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，其前n项和为S_n，当n≥2时，满足a_n-2ⁿ=S_n-1，又b_n=，
（I）证明：数列{b_n}是等差数列；
（II）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）求出数列的前两项，通过an-2n=Sn-1，求出an+1，an的关系，转化为数列{bn}相邻两项的关系，即可证明数列{bn}是等差数列；
（II）通过（I），求出数列{bn}，{an}的通项公式，确定数列{Sn}的通项公式，利用错位相减法求出数列{Sn}前n项和Tn．
【解析】
（I）由题意知得，a1=2，a2-22=S1=a1=2，∴a2=6．
n≥2时，an-2n=Sn-1，an+1-2n+1=Sn，
两式相减得 an+1-an-2n=an
即 an+1=2an+2n  （n≥2）
于是
即 bn+1-bn=   n≥2
又b1==1，=，b2-b1=，
所以数列{bn}是首项为1，公差为0.5的等差数列．
（II）由（I）知，，
an=bn2n=（n+1）2n-1，
又n≥2时an-2n=Sn-1，Sn-1=（n-1）2n-1，
∴Sn=n•2n
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，…①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1…②
②-①可得
Tn=2n+1-2-n×2n=（n-1）2n+1+2．