Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且（单位：cm），E为PA的中点．
（1）如图，若主视方向与AD平行，请作出该几何体的主视图并求出主视图面积；
（2）证明：DE∥平面PBC；
（3）证明：DE⊥平面PAB．

Answer

（1）由主视图与俯视图垂直必过点P，画出主视图，再由平面几何知识求得其面积；
（2）设PB的中点为F，，得出四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF，再由线面平行的判定定理得DE∥平面PBC；
（3）由AB⊥PD，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，从而ED⊥AB，易得ED⊥PA，由线面垂直的判定定理得DE⊥平面PAB．
【解析】
（1）主视图如下：（没标数据不扣分）
（3分）

主视图面积S=．（4分）

（2）设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，∴EF∥AB，且EF=DC=，
故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF，．（7分）
ED⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，故DE∥平面PBC．（9分）

（3）PD垂直于底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，PD∩AD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．（11分）
ED⊂平面PAD，故ED⊥AB，．（12分）
又PD=AD，E为PA中点，故ED⊥PA；．（13分）
PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴DE⊥平面PAB．（14分）