Question

如图，△OAB是等边三角形，∠AOC=45°，，A、B、C三点共线，
（1）求的值．
（2）D是线段BC上的任意点，若=x+y，求x²y的最大值．

Answer

（1）由已知易得的夹角为∠B的补角，由正弦定理，结合△OAC中，，∠OAC=120°，∠AOC=45°，∠OCA=15°，解三角形OAC，易得OB，BC的长，代入向量数量积公式即可求解．
（2）由D是线段BC上的任意点，若=x+y，我们易得x+y=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1），构造函数f（x）=x2y利用导数法确定函数的单调性，进而可求出x2y的最大值．
【解析】
（1）（1分）
在△OAC中，∠OAC=120°，∠AOC=45°，∠OCA=15°，
∴，
即（3分）
故，
，
∵OA=AB=OB=，
故BC=AC+AB=（5分）
∠OBC=60°，可得＜，＞=120°，
∴=（1-）×（1+）×cos120°=-（7分）

（2）∵D、B、C三点共线，故可设=λ，（0≤λ≤1）（8分）
=（1-λ）+λ，又=y+x，
故x+y=λ+（1-λ）=1，（其中0≤x≤1，0≤y≤1）（10分）
令f（x）=x2y=x2（1-x）=x2-x3（0≤x≤1）（11分）
f'（x）=2x-3x2时，f'（x）=2x-3x2≥0⇒f（x）在区间单调递增，时，f'（x）=2x-3x2≤0⇒f（x）在区间单调递减，（13分）
∴，即x2y的最大值为．（14分）