Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．
（1）求证：BD⊥AC₁；
（2）若AB=，AA₁=，求AC₁与平面ABC所成的角．

Answer

（1）先根据AA1⊥平面ABC证得AA1⊥BD；再结合AB=BC，D为AC中点得到AC⊥BD；两个结论相结合即可得BD⊥平面ACC1 A1进而得到结论；
（2）根据AA1⊥平面ABC，可得CC1⊥平面ABC，进而得到AC1与平面ABC所成的角为∠C1AC；然后在RT△C1CA中求出∠C1AC即可得到结论．
【解析】
（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD
又∵AB=BC，D为AC中点，∴AC⊥BD
∴BD⊥平面ACC1 A1
∴BD⊥AC1…（4分）
（2）∵AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC
∴AC1与平面ABC所成的角为∠C1AC
∵AB=BC，∠ABC=90°，AB=，∴AC=2
又AA1=，∴CC1=
∴tan∠C1AC=，
∴∠C1AC=60°．
即AC1与平面ABC所成的角为60°…（8分）