Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）对于给定的实数λ，试求数列{b_n}的通项公式，并求S_n．
（3）设0＜a＜b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）假设存在一个实数，使{an}是等比数列，由题意知（ ）2=2 ，矛盾．所以{an}不是等比数列．
（2）研究数列相邻两项，看相邻项的关系，以确定数列bn的性质，然后求出其通项公式；最后根据等比数列的求和公式并求Sn
（3）求出数列的前n项和，然后根据形式结合指数函数的性质求出其最值，则参数的范围易知．
证明：（1）假设存在一个实数，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，
即（）2=2，
矛盾．所以{an}不是等比数列．
（2）因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（an-2n+14）
=-（-1）n•（an-3n+21）=-bn
当λ≠-18时，b1=-（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，
∴（n∈N+）．
故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-为公比的等比数列．，
当λ=-18时，bn=0，Sn=0
（3）由（2）知，当λ=-18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，
要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，
即a＜-（λ+18）•[1-（-）n]＜b（n∈N+）…①

当n为正奇数时，1＜f（n），
∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，
于是，由①式得a＜-（λ+18）＜．
当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）．