Question

在公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}和公比为q的等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在常数a，b，使得对于一切正整数n，都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在，求出常数a和b，若不存在说明理由．

Answer

（Ⅰ）由条件得：，由此能求出求结果．
（Ⅱ）假设存在a，b使an=logabn+b成立，则5n-4=loga6n-1+b⇒5n-4=（n-1）loga6+b⇒（5-loga6）n+（loga6-b-4）=0对一切正整数恒成立．由此能求出存在常数使得对于n∈N*时，都有an=logabn+b恒成立．
【解析】
（Ⅰ）由条件得：
∴，
∴an=5n-4，
bn=6n-1．
（Ⅱ）假设存在a，b使an=logabn+b成立，
则5n-4=loga6n-1+b，
∴5n-4=（n-1）loga6+b，
∴（5-loga6）n+（loga6-b-4）=0对一切正整数恒成立．
∴，
既．
故存在常数，
使得对于n∈N*时，都有an=logabn+b恒成立．…（12分）