Question

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（Ⅰ）a=1时，求数列{a_n}与{b_n}的通项；
（Ⅱ）设a＞0且a≠1，若数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；
（Ⅲ）若a＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别记为S_n与T_n，求（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）的值．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，数列{an}与{bn}的都是公差为b的等差数列，根据a1=0，b1=1可求出数列的通项公式；
（Ⅱ）根据题意，易得，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列则 为常数，从而求出b；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论易得bn-an=a（bn-1-an-1），可得{bn-an}成等比数列，且公比为a，又由b1-a1=1，可得bn-an=an-1，
而Tn-Sn=（b1+b2+…+bn）-（a1+a2+…+an）=（b1-a1）+（b2-a2）+…+（bn-an），分a是否为1，讨论可得Tn-Sn的值，进而可得答案．
【解析】
（I）∵a=1，∴函数f（x）=ax+b在R上是增函数，
∴an=a•an-1+b=an-1+b，bn=a•bn-1+b=bn-1+b，（n≥2），
则数列{an}与{bn}都是公差为b的等差数列，
∵a1=0，b1=1，∴an=（n-1）b，bn=1+（n-1）b．
（Ⅱ）∵a＞0，bn=a•bn-1+b，
∴；
由{bn}是等比数列，知应为常数．
{bn}是公比不为1的等比数列，则bn-1不是常数，
必有b=0．
（Ⅲ）∵a＞0，an=a•an-1+b，bn=a•bn-1+b，
两式相减，得bn-an=a（bn-1-an-1），
∴{bn-an}成等比数列，公比为a，b1-a1=1，
∴bn-an=an-1．
Tn-Sn=（b1+b2+…+bn）-（a1+a2+…+an）=（b1-a1）+（b2-a2）+…+（bn-an）=
∴（T1+T1+…+Tn）-（S1+S2+…+Sn）=（T1-S1）+（T2-S2）+…+（Tn-Sn）=