(1)先求出函数的定义域,然后求导数,根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值.
(2)将f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立转化为不等式对于x∈[1,+∞)恒成立,然后令,对函数g(x)进行求导,根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值,使得a小于等于这个最小值即可.
【解析】
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数f'(x)=1+lnx.
令f'(x)>0,解得;令f'(x)<0,解得.
从而f(x)在单调递减,在单调递增.
所以,当时,f(x)取得最小值.
(Ⅱ)依题意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,
即不等式对于x∈[1,+∞)恒成立.
令,
则.
当x>1时,
因为,
故g(x)是(1,+∞)上的增函数,
所以g(x)的最小值是g(1)=1,
从而a的取值范围是(-∞,1].