(Ⅰ)取A1B1的中点F,先利用△A1B1C1是正三角形,证得C1F⊥A1B1.⇒B1B⊥C1F.⇒ME⊥面BB1A1A;再利用在面BB1C1C中AB1⊥A1B,
就可得到AB1⊥平面BEM,进而证得BM⊥AB1;
(Ⅱ)找N为AC的三等分点,利用△CE1M∽△B1E1B,⇒AB1∥NE1⇒AB1∥平面BMN.
【解析】
(Ⅰ)证明:取A1B1的中点F,连接A1B,AB1交于点E,连接EF,C1F.
因为△A1B1C1是正三角形,
所以C1F⊥A1B1.
又ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以B1B⊥面A1B1C1,所以B1B⊥C1F.
所以有C1F⊥面BB1A1A.
⇒ME⊥面BB1A1A⇒ME⊥AB1,
又在面BB1C1C中AB1⊥A1B,
所以AB1⊥平面BEM,
所以BM⊥AB1;
(Ⅱ)N为AC的三等分点,CN:NA=1:2.
连接B1C,B1C∩BM=E1,
∵△CE1M∽△B1E1B,
∴==,
∴==,∴AB1∥NE1
又∵E1N⊂面BMN,AB1⊄面BMN
∴AB1∥平面BMN