Question

过直线y=-1上的动点A（a，-1）作抛物线y=x²的两切线AP，AQ，P，Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．
（2）求证：直线PQ过定点．

Answer

（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1•k2为定值
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2ax-y+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax-y+1=0，该线过定点（0，1）故证得．
【解析】
（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，
则切线的方程为y+1=k（x-a），
与方程y=x2联立，消去y，得x2-kx+ak+1=0．
因为直线与抛物线相切，所以△=k2-4（ak+1）=0，
即k2-4ak-4=0．由题意知，此方程两根为k1，k2，
∴k1k2=-4（定值）．（5分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=x2，得y′=2x．
所以在P点处的切线斜率为：，
因此，切线方程为：y-y1=2x1（x-x1）．
由y1=x12，化简可得，2x1x-y-y1=0．
同理，得在点Q处的切线方程为2x2x-y-y2=0．
因为两切线的交点为A（a，-1），故2x1a-y1+1=0，2x2a-y2+1=0．
∴P，Q两点在直线2ax-y+1=0上，即直线PQ的方程为：2ax-y+1=0．
当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点（0，1）．（10分）