Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O 为AE的中点，F是AB 的中点．以AE为折痕将△ADE向上折起，使面DAE⊥面ABCE．
（Ⅰ）求证：OF∥面BDE；
（Ⅱ）求证：AD⊥面BDE；
（Ⅲ）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer

（I）O为AE的中点，F是AB的中点，根据中位线定理可知OF∥BE，而BE⊂面BDE，OF⊄面BDE，满足线面平行的判定定理所需条件，可证得结论；
（II）根据面DAE⊥面ABCE，BE⊥AE，由面面垂直的性质可知BE⊥面ADE，而AD⊂面ADE，由线面垂直的性质可知BE⊥AD，AD⊥DE，且DE∩BE=E，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；
（III）根据DA=DE，OA=OE可知DO⊥AE，而面DAE⊥面ABCE，则DO⊥面ABCE，DO即为三棱锥D-BCE的高，最后根据棱锥的体积公式解之即可．
【解析】
（I）∵O为AE的中点，F是AB的中点，
∴OF∥BE …（2分）
又∵BE⊂面BDE，OF⊄面BDE，
∴OF∥面BDE    …（4分）
（II）∵面DAE⊥面ABCE，BE⊥AE
∴BE⊥面ADE，AD⊂面ADE
∴BE⊥AD  …（7分）
∵AD⊥DE，且DE∩BE=E，
∴AD⊥面BDE …（8分）
（III）∵DA=DE，OA=OE
∴DO⊥AE，
而面DAE⊥面ABCE，∴DO⊥面ABCE，…（10分）
VD-BCE=SBCE×OD=×2×=…（12分）