Question

已知椭圆C的方程为：，其焦点在x轴上，离心率．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x，y）满足，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据椭圆焦点在x轴上，离心率，即可求出椭圆的标准方程；
（2）假设M，N的坐标，利用向量条件寻找坐标之间的关系，结合点M，N在椭圆上，即可证明为定值；
（3）由（2）知点P是椭圆上的点，根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值．
（1）【解析】
由，b2=2，解得，故椭圆的标准方程为．
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），
即x=x1+2x2，y=y1+2y2，
∵点M，N在椭圆上，
∴
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，，
∴x1x2+2y1y2=0，
故
=，
即（定值）
（3）证明：由（2）知点P是椭圆上的点，
∵，
∴该椭圆的左右焦点满足为定值，
因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值．