Question

如图，已知椭圆的焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上任意一点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为    ．

Answer

点F2关于∠F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F1P的延长线上，故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），又OQ是△F2F1Q′的中位线，故|OQ|=a，由此可以求点M的轨迹方程．
【解析】
点F2关于∠F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F1P的延长线上，故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），
又OQ是△F2F1Q′的中位线，故|OQ|=2，
设M（x，y），则Q（2x，y），
所以有4x2+y2=4，
故答案为．