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如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,S为平面ABCD外一点,△S...

如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,S为平面ABCD外一点,△SAD为正三角形,manfen5.com 满分网,M、N分别为SB、SC的中点.
(Ⅰ)求证:平面SAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-SB-C的余弦值;
(Ⅲ)求四棱锥M-ABN的体积.

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(Ⅰ)证明平面SAD⊥平面ABCD,我们只要在一个平面内找出另一平面的垂线,取AD的中点O,连接SO,BO,即证SO⊥平面ABCD,从而只需证SO垂直于平面内的两条相交直线; (Ⅱ)先证明AM⊥SB,MN⊥SB,所以∠AMN为二面角A-SB-C的平面角,再由OM⊥平面SBC,可得∠OMN=90°,从而可得,进而可求二面角A-SB-C的余弦值; (Ⅲ)先求出,根据OM⊥平面SBC,可得O点到平面BNM的距离,再利用AO∥平面SBC,可得A点到平面BNM的距离等于O点到平面BNM的距离,从而可求三棱锥M-ABN的体积. (Ⅰ)证明:取AD的中点O,连接SO,BO 因为△SAD为正三角形,所以SO⊥AD,且SO= 又菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,所以 而SB=,所以SB2=SO2+BO2,即SO⊥BO 因为BO∩AD=O 所以SO⊥平面ABCD,又SO⊆平面SAD 所以平面SAD⊥平面ABCD; (Ⅱ)【解析】 因为SA=AB=2,点M为SB的中点,所以AM⊥SB 由(Ⅰ)知BC⊥SO,又菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,所以BC⊥BO 因为SO∩BO=O 所以BC⊥面SOB 因为SB⊆面SOB 所以BC⊥SB 因为点N为SC的中点,所以MN∥BC,故MN⊥SB 所以∠AMN为二面角A-SB-C的平面角 又平面SOB⊥平面SBC,连接OM,则OM⊥SB, 所以OM⊥平面SBC 所以∠OMN=90° 在直角三角形AOM中,AO=1,,所以AM=, 所以 ∴ ∴二面角A-SB-C的余弦值; (Ⅲ)【解析】 由(Ⅱ)知,MN⊥SB,因为, 所以 又OM⊥平面SBC,所以O点到平面BNM的距离为MO= 因为AO∥BC,AO⊄平面SBC,所以AO∥平面SBC 所以A点到平面BNM的距离等于O点到平面BNM的距离MO= 所以三棱锥M-ABN的体积为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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