Question

已知函数，其中a为常数．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：D．

Answer

（1）根据题意，由函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）=2x-a+≥0在（0，1）上恒成立，进而转化为2x+≥a在（0，1）上恒成立，令t=2x+，通过对t求导判断单调性，可得t的最小值为1，由不等关系可得答案．
（2）由（1）的结论，分析可得f（x）＞f（0），化简可得ln（x+1）＞x-x2，令x=，（n≥2），可得ln（+1）＞-，变形可得ln＞，所以=++…+＜ln+ln+…+ln，由对数的运算性质，化简可得证明．
【解析】
（1）根据题意，函数在（0，1）上单调递增，
则f′（x）=2x-a+≥0在（0，1）上恒成立；
即2x+≥a在（0，1）上恒成立，
令t=2x+，则t′=1+（）′=1-，
又由x∈（0，1），则t′＞0，
则t在（0，1）是增函数，
故有2x+＞1，
所以求得a≤1，
（2）证明：由（1）可得，当a=1时，f（x）在（0，1）上递增，
所以f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x2，
令x=，（n≥2）则∈（0，]⊆（0，1），
所以有ln（+1）＞-，变形可得ln＞，
所以=++…+＜ln+ln+…+ln=ln；
即原不等式得证．