Question

已知直线l₁：x-y=0，l₂：x+y=0，点P是线性约束条件所表示区域内一动点，PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M、N，且（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在过点（2，0）的直线l与（Ⅰ）中轨迹交于点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于Q点，且使得△ABQ是等边三角形．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设P（x，y），由题意有l1⊥l2，且PM⊥l1，PN⊥l2，四边形PMON是矩形，所以SPMON=2S△MON=|PM|•|PN|=1，故，由此能求出动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．当l⊥x轴时，有l：x=2．此时|AB|=，，△ABQ不是正三角形．当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-2），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1-k2）x2+4k2-2=0，△=8k2+8＞0恒成立，由此能够推导出．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），由题意有l1⊥l2，且PM⊥l1，PN⊥l2，
∴四边形PMON是矩形，
∴SPMON=2S△MON=|PM|•|PN|=1，
∴，
∴|x2-y2|=2，
∵P在所表示的区域内，
∴x2-y2=2（x＞0），
所以求得动点P的轨迹方程为x2-y2=2（x＞0）．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．
当l⊥x轴时，有l：x=2．
此时|AB|=，，△ABQ不是正三角形．
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-2），
并设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，
得（1-k2）x2+4k2-2=0，
△=8k2+8＞0恒成立，
∵l与双曲线的右支交于两点，
∴|k|＞1．
∴，

∴线段AB的中点，
∴线段AB的垂直平分线为，
∴，
∵△ABQ是等边三角形，
∴．