Question

已知椭圆，F₁，F₂是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF₁|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是    ．

Answer

设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a-c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．
【解析】
设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，
则|PF1|=2a-|PF2|=2a-=2d，即d=，
而|PF1|∈（a-c，a+c），即2d=，
所以得到，由①得：++2≥0，为任意实数；
由②得：+3-2≥0，解得≥或≤（舍去），
所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）