Question

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在约束条件下的最大值是4，则直线ax+by-1=0截圆x²+y²=1所得的弦长的范围是    ．

Answer

本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件 ，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为4，求出a，b的关系式，再利用直线与圆的位置关系求得的弦长的范围．
【解析】
满足约束条件 的区域是一个三角形，如图
3个顶点是（0，0），（1，0），（ 2，2），
由图易得目标函数在（2，2）取最大值4，
此时2a+2b=4，即a+b=2，
在条件：a+b=2，a＞0，b＞0下，由不等式知识可得：
a2+b2的取值范围是：2≤a2+b2＜4
设直线ax+by-1=0截圆x2+y2=1所得的弦长为l，弦心距为d
则：l2+d2=r2=1，其中∈（，]
∴l2=1-d2∈[，）
∴l2∈[2，3）
可得弦长l的范围是的范围是
故答案为：．