Question

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若m=1，且，求k的值（O点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题设条件可知解得．由a2=b2+c2，得b=1．由此可得到椭圆方程．

（Ⅱ）由题意知y=kx+1．设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程消去y并整理得（1+3k2）x2+6kx=0，由△＞0可知．再由能够推导出k的值
（Ⅲ）由已知，可得．将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0．然后根据根的判别式和根与系数的关系进行求解．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（c＞0），依题意解得．
由a2=b2+c2，得b=1．
∴所求椭圆方程为

（Ⅱ）∵m=1，∴y=kx+1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程消去y并整理得（1+3k2）x2+6kx=0&，
则△=（6k）2-4（1+3k2）×0＞0&，解得k≠0．
故．
∵，∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+1）•（kx2+1）=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
=∴．
（Ⅲ）由已知，可得．
将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0．
△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）＞0（*）
∴．
∴
=
=．
当且仅当，即时等号成立．
经检验，满足（*）式．
当k=0时，．
综上可知|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值．