Question

已知函数（a＜0）
（1）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（2）若实数x∈（a，0]时，不等式恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）函数的分母不为0，可求函数的定义域；求导函数，令其大于0（小于0），结合函数的定义域，可求函数的单调区间；
（2）由题意可知，a＜0，且在（a，0]上的最小值大于等于时，实数x∈（a，0]时，使得不等式恒成立，故问题转化为求函数在（a，0]上的最小值．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}….1分．….3分
由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．
∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），单调递减区间为（-∞，a），（a，a+1）．….6分
（2）由题意可知，a＜0，且在（a，0]上的最小值大于等于时，实数x∈（a，0]时，
使得不等式恒成立．
①若a+1＜0即a＜-1时，

x （a，a+1） a+1 （a+1，0）
f'（x） - +
f（x） ↘ 极小值 ↗

∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=ea+1．则，得….9分
②若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为．
由得a≥-2．                                              …10分
综上所述，0＞….12分．