Question

（不等式选讲选做题）已知点P是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z所满足的关系式为    ，x²+y²+z²的最小值是    ．

Answer

设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值；再利用：（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）2这个不等关系进行求最小值即可．
【解析】
设等边三角形的边长为a，高为h
将P与三角形的各顶点连接
根据面积
那么：ax+ay+az=ah
所以x+y+z=h
因为等边三角形的边长为2 ，所以高为h=3
所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3
∵（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）2=9，
∴x2+y2+z2≥9×=3，
故 x2+y2+z2的最小值为3，
故答案为：x+y+z=3；3．