Question

如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A是坐标原点）．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N^*）的横坐标a_n关于n的表达式；
（3）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由题意可知直线AP1为y=x，然后与y2=3x联立可得到P1的坐标，再由△AA1P1是正三角形可得到A1的坐标得到a1的值，同理可得到a2、a3．
（2）先根据题意可得到关系，，然后根据yn2=3xn得（an-an-1）2=2（an-1+an），从而可猜想数列通项公式an=n（n+1），再由数学归纳法证明即可．
（3）先根据（2）中an的表达式可得到bn的关系式bn=，再由函数的单调性可判断当n=1是bn的最大值，故为使得不等式恒成立只要即可，即只要t2-2mt＞0对于∀m∈[-1，1]恒成立即可，再由二次函数的性质即可得到t的范围．
解（1）a1=2，a2=6，a3=12；
（2）依题意，得，，由此及yn2=3xn得，即（an-an-1）2=2（an-1+an）．
由（1）可猜想：an=n（n+1）n∈N*
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假定当n=k时命题成立，即有an=k（k+1），则当n=k+1时，由归纳假设及（ak+1-ak）2=2（ak+ak+1）得[ak+1-k（k+1）]2=2[k（k+1）+ak+1]，即（ak+1）2-2（k2+k+1）ak+1+[k（k-1）]•[（k+1）（k+2）]=0，
解之得ak+1=（k+1）（k+2）（ak+1=k（k-1）＜ak不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．
（3）==．
令（x≥1），则，所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当x=1时，f（x）取得最小值3，即当n=1时，．（（∀n∈N，∀m∈[-1，1]），即t2-2mt＞0（∀m∈[-1，1]）
解之得，实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．