Question

已知函数（b、c为常数）的两个极值点分别为α、β，f（x）在点（-1，f（-1））处切线为l₁，其斜率为k₁；在点（1，f（1））处的切线为l₂，其斜率为k₂．
（1）若l₁⊥l₂，|α-β|=1，求b，c；
（2）若α∈（-3，-2），β∈（0，1），求k₁的取值范围．

Answer

（1）先求出导函数，再利用l1⊥l2⇒f'（-1）f'（1）=-1找到（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1①；再利用α、β为极值点转化为导函数=0的根和|α-β|=1，找出4b2-4c=1  ②，共同解得b，c．
（2）α∈（-3，-2），β∈（0，1）说明f'（x）=x2+2bx+c=0的两根位于（-3，-2）和（0，1），画出对应的图象，利用图象找到b，c所满足的不等式组，在利用线性规划知识求出k1的取值范围．
【解析】
（1）由题得f'（x）=x2+2bx+c
∵l1⊥l2，∴f'（-1）f'（1）=-1
即（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1  ①
∵α，β是x2+2bx+c=0的两根
∴α+β=-2b，αβ=c．
又因为|α-β|=1，
∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=4b2-4c=1  ②
由①②得 c=1，b=．
（2）∵f'（x）=x2+2bx+c，α∈（-3，-2），β∈（0，1）
∴即
则点P（b，c）的取值范围如图中阴影部分所示，
∵k1=-2b+c+1，当直线l1过点A（1，0）时k1=-1，当直线l1过点C（1，-3）时，k1=-4，
∴k1的取值范围是（-4，-1）．（14分）