Question

如图，在三棱锥B-ACD中，AB=BD=CD=1，AC=，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE=30°．
（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）要证平面BCE⊥平面ACD，需证BE⊥面ACD，即可．
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．用等体积方法求出C到面ABD的距离即可．
【解析】
（Ⅰ）由已知得，
∴BE2+DE2=BD2，
∴BE⊥DE又∵BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，
∵BE⊂，面BDE，
∴面BDE⊥面ACD

（Ⅱ）方法一：
设C到平面ABD的距离为h，由VB-ACD=VC-ABD，
得
则．
设AC于平面ABD所成角为α，则，
∴AC与平面ABD所成角的正弦值为．

方法二：建立如图所示直角坐标系，则
D（0，0，0），A（，，0），
B（，0，），C（0，1，0），
∴=（，，0），=（，，0）=（，0，）
设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），
则
∴取n=（，，-1）
设AB于平面ABD所成角为α，
∴AC与平面ABD所成角的正弦值为