Question

f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．现给出下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=x²+1；
③；
④；
⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是F函数的函数有    ．

Answer

用F函数的定义加以验证，对于①④⑤均可以找到常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，说明它们是F函数．而对于②③，当x→0时，||→∞，所以不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意．
【解析】
对于①，f（x）=2x，易知存在M=2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意；
对于④，因为|f（x）|=|x|，所以存在常数M=＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，④是F函数；
对于⑤，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|得到，
|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意．
而对②、③用F函数的定义不难发现：因为x→0时，||→∞，所以不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，它们是不符合题意的
故答案为：①④⑤