Question

做一个物理试验，甲、乙两人一次试验成功的概率分别为0.6、0.8，且每次试验成功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲做试验三次，第三次才能成功的概率；
（II） 甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功的概率；
（III） 甲、乙各做试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

Answer

（I）甲做试验三次，第三次才能成功表示前两次都不成功，第三次才能成功，且三次试验之间是相互独立的，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（II）甲和乙两个人在第一次试验中至少有一次成功包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件和互斥事件 的概率公式得到结果，也可以用对立事件的概率来做出结果．
（III）“甲在两次试验中成功i次”为事件Mi（i=0，1，2），“乙在两次试验中成功i次”为事件Ni（i=0，1，2），事件“甲、乙各试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N+M2N1，且M1N、M2N1为互斥事件．根据概率公式得到结果．
【解析】
记“甲第i次试验成功”为事件A1，“乙第i次试验成功”为事件B1．
依题意得P（A1）=0.6，P（B1）=0.8，且A1B1（i=1，2，3）相互独立．
（I）“甲第三次试验才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，
∴P（A3）=P（）P=0.4×0.4×0.6=0.096．
答：甲第三次试验才成功的概率为0.096．…3分
（II）甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功为事件C，
解法一：C=A1彼此互斥，
∴P（C）=
=
=0.6×0.2+0.4×0.8+0.6×0.8
=0.92．
解法二：P（C）=1-=1-0.4×0.2=0.92．
答：甲、乙两人在第一次试验中至少有一人成功的概率为0.92．…7分
（III）设“甲在两次试验中成功i次”为事件Mi（i=0，1，2），
“乙在两次试验中成功i次”为事件Ni（i=0，1，2），
∵事件“甲、乙各试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N+M2N1，且M1N、M2N1为互斥事件．
∴所求的概率为=P（M1）P（N）+P（M2）P（N1）
=2×0.6×0.4×0.22+0.62×2×0.8×0.2
=0.0192+0.1152
=0.1344．
答：甲、乙每人试验两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.1344．…12分．