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如图,直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD⊥CD,且2AB=AD=CD=2.四边...

如图,直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD⊥CD,且2AB=AD=CD=2.四边形ADEF为正方形,且平面ADEF⊥平面ABCD.连FC,M为FC中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:FC⊥AE;
(3)求三棱锥F-BDM的体积.

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(1)设FD∩AE=O,连MO,可得OMDC,即可得到ABOM.可得四边形ABMO为平行四边形,所以BM∥AO,再根据线面平行的判定定理可得线面平行. (2)由面面垂直的性质定理可得:CD⊥平面ADEF,即可得到CD⊥AE,在正方形ABCD中,FD⊥AE,再利用线面垂直的判定定理可得线面垂直,进而得到线线垂直. (3)由面面垂直的性质定理可得:FA⊥平面ABCD,即可得到点F到平面ABCD距离为FA=2,进而得到点M到平面ABCD距离为1,再结合题意分别求出VF-ABCD,VF-ABD,VM-BCD,进而求出答案. 证明:(1)设FD∩AE=O,连MO. ∵M、O分别为FC、FD的中点, ∴OMDC, 又∵ABDC, ∴ABOM.…2分 ∴四边形ABMO为平行四边形. ∴BM∥AO, ∵AO⊂平面ADEF,BM⊄平面ADEF, ∴BM∥平面ADEF.…4分 (2)∵平面ADEF⊥平面ADCB,且CD⊥AD, ∴CD⊥平面ADEF.…6分 ∴CD⊥AE, 在正方形ABCD中,FD⊥AE, ∴AE⊥平面CDF, 又∵AE⊂平面CDF, ∴FC⊥AE.…9分 (3)∵平面ADEF⊥平面ADCB,且FA⊥AD, ∴FA⊥平面ABCD, ∴点F到平面ABCD距离为FA=2 又∵M为FC中点, ∴点M到平面ABCD距离为FA=1 ∴VF-ABCD=(1+2)•2•2=2,VF-ABD=,VM-BCD=, ∴VF-BDM=VF-ABCD-VF-ABD-VM-BCD=2-.…14分.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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