Question

如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD⊥CD，且2AB=AD=CD=2．四边形ADEF为正方形，且平面ADEF⊥平面ABCD．连FC，M为FC中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：FC⊥AE；
（3）求三棱锥F-BDM的体积．

Answer

（1）设FD∩AE=O，连MO，可得OMDC，即可得到ABOM．可得四边形ABMO为平行四边形，所以BM∥AO，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）由面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ADEF，即可得到CD⊥AE，在正方形ABCD中，FD⊥AE，再利用线面垂直的判定定理可得线面垂直，进而得到线线垂直．
（3）由面面垂直的性质定理可得：FA⊥平面ABCD，即可得到点F到平面ABCD距离为FA=2，进而得到点M到平面ABCD距离为1，再结合题意分别求出VF-ABCD，VF-ABD，VM-BCD，进而求出答案．
证明：（1）设FD∩AE=O，连MO．
∵M、O分别为FC、FD的中点，
∴OMDC，
又∵ABDC，
∴ABOM．…2分
∴四边形ABMO为平行四边形．
∴BM∥AO，
∵AO⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．…4分
（2）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADEF．…6分
∴CD⊥AE，
在正方形ABCD中，FD⊥AE，
∴AE⊥平面CDF，
又∵AE⊂平面CDF，
∴FC⊥AE．…9分
（3）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD，
∴点F到平面ABCD距离为FA=2
又∵M为FC中点，
∴点M到平面ABCD距离为FA=1
∴VF-ABCD=（1+2）•2•2=2，VF-ABD=，VM-BCD=，
∴VF-BDM=VF-ABCD-VF-ABD-VM-BCD=2-．…14分．