Question

设A、B是椭圆C：3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点．
（I）求直线AB的方程，并确定λ的取值范围；
（II）在x轴上存在一个点E，使△EAB为正三角形，求椭圆C的方程．

Answer

（I）利用点差法来求中点弦方程，设出A，B点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出直线AB的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程．再根据点N（1，3）在椭圆内部，代入椭圆方程，小于λ，即可求出λ的范围．
（II）因为△EAB为正三角形，N（1，3）是线段AB的中点，所以线段AB的中垂线为EN，由因为E点在x轴上，可求出E点坐标，利用两点间的距离公式，求出EN长，在正三角形中，中线是边长的，可求出△EAB的边长，再用弦长公式即可求出λ的值．
【解析】
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
依题意，．
∵N（1，3）是AB的中点，
∴x1+x2=2，y1+y2=6，从而kAB=-1…4分直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
又由N（1，3）在椭圆内，λ＞3×12+32=12．
∴λ的取值范围是（12，+∞）．
（II）易得：线段AB的中垂线方程为：y=x+2，令y=0得：点E的人坐标为（-2，0）
∴．
又由得：
．
∴
∴由
∴此时椭圆的方程为：．