Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，记b_n=a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）记，数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer

（I）要证明数列{bn}是等比数列，只要证明 =q≠0即可．利用已知递推关系可转化为证an+1+n+2=2（an+n+1）即得；
（II）由（I）知，bn=3•2n-1．于是从而得出cn＜．利用此式对和式Sn=c1+c2+…+cn进行放缩后求和即得．
证明：（Ⅰ）由题设an+1=2an+n，得an+1+n+2=2（an+n+1），
即bn+1=2bn．                         …4分
又b1=a1+1+1=3，所以数列{bn}是其首项为3，且公比为2等比数列．…6分
（Ⅱ）由（I）知，bn=3•2n-1．
于是．        …8分
所以cn＜．            …11分
所以Sn=c1+c2+…+cn=．…14分．